Équation polynômiale (2)

Énoncé

On note \((E)\) l'équation :  \(z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85 =0\) , d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) .

1. Montrer que, si \(z \in \mathbb{C}\) est une solution de \((E)\) , alors \(\overline{z}\) est aussi une solution de \((E)\) .

2. Vérifier que \(-2+i\) est solution de \((E)\) .

3. En déduire une autre solution de \((E)\) .

4. Pour \(z \in \mathbb{C}\) , développer \((z-(-2-i))(z-(-2+i))\) .

5. Montrer qu'il existe des réels \(a , b\)  et \(c\) tels que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(z^4 + 2 z^3 + 14 z^2 + 58 z + 85 = (z^2 - 4 z + 5) (az^2 + bz + c)\) .

6. En déduire les solutions de \((E)\) .